Определенный интеграл как функция верхнего предела

Тема 15. Определенный интеграл. Способы интегрирования

Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не непременно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, ¼, xn-1, удовлетворяющие условию:
a< x1,< x2<¼< xn-1,

Введем обозначения:Dx1 = x1 – a; Dx2 = x2 – x1; ¼ Dxn = b – xn-1.

Составим сумму:

.

Она именуется интегральнойсуммой функции f(x Определенный интеграл как функция верхнего предела) по промежутку [a;b]. Разумеется, что интегральная сумма находится в зависимости от метода разбиения промежутка и от выбора точек ci.

Каждое слагаемое интеграль­ной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.

Введем обозначение: l = max(Dxi), i = 1, 2, ¼ n.. Величину l время от времени именуют параметром разбиения.

Разглядим процесс Определенный интеграл как функция верхнего предела, при котором число точек разбиения неограниченно растет таким макаром, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом

от функции по промежутку [a;b] именуется предел, к которому стремится интегральная сумма при всем этом процессе, если предел существует:

.

Если таковой предел существует, то он не находится в зависимости от начального разбиения Определенный интеграл как функция верхнего предела промежутка [a;b] и выбора точек ci.

Число a именуетсянижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегриро­вания.

Разглядим фигуру, ограни­ченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру именуют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная Определенный интеграл как функция верхнего предела трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой

.

Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (к примеру, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f Определенный интеграл как функция верхнего предела(x), определяется формулой

.

Перечислим характеристики определенного интеграла:

1) (тут k ‑ случайное число);

2) ;

3) ;

4) Если cÎ[a;b], то .

Из этих параметров следует, к примеру, что .

Все приведенные выше характеристики конкретно следуют из определения определенного интеграла.

Оказывается, что формула из пт 4 справедлива тогда и, когда cÏ[a;b]. Пусть, к примеру, c Определенный интеграл как функция верхнего предела>b, как изображено на рисунке 4. В данном случае верны равенства

.

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Пусть функция f(t) определена и непрерывна на неком промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число

,

определив тем на промежутке функцию I(x), которая именуется Определенный интеграл как функция верхнего предела определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого поначалу разглядим прира­щение функции в точке x при приращении аргумента Dx:

DI(x) = I(x + Dx) – I(x) =

.

Как показано на рисунке 1, величина Определенный интеграл как функция верхнего предела последнего интеграла в формуле для приращения DI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (тут, так же как и всюду в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента либо функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, потому что сами приращения могут быть и положительными и отрицательными Определенный интеграл как функция верхнего предела) эта площадь оказывается примерно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)Dx. Отсюда получаем соотношение

.

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx.

Из произнесенного следует формула для производной функции I(x):

.

Производная определенного интеграла по верхнему лимиту в Определенный интеграл как функция верхнего предела точкеxравна значению подынтегральной функции в точкеx. Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f(x), при этом таковой первообразной, которая воспринимает в точке x = a значение, равное нулю. Данный факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

. (1)

Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по аксиоме Определенный интеграл как функция верхнего предела об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C — некое число. При всем этом правая часть формулы (1) воспринимает вид

I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)

Из формул (1) и (2) после подмены x на b следует формула для вычисления Определенный интеграл как функция верхнего предела определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:

,

которая именуется формулойНьютона-Лейбница. Тут F(x) — неважно какая первообразная функции f(x).

Для того, чтоб вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], необходимо отыскать какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность Определенный интеграл как функция верхнего предела значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать эмблемой .

Приведем примеры вычисления определенных интегралов при помощи формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1. .

2. .

Поначалу вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex. Используя способ интегрирования по частям, получаем: . В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию Определенный интеграл как функция верхнего предела ex(x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:

I = ex(x – 1) = 1.


opredelit-pervie-priznaki-kozhi-rotacionnij-test.html
opredelit-preparat-ustranyaet-produktivnuyu-simptomatiku-psihozov-bred-gallyucinacii-obladaet-sedativnim-svojstvom-vizivaet-ekstrapiramidnie-narusheniya.html
opredelit-raspolagaemij-dohod.html